Intro :

En mathématiques, on peut convertir un vecteur ou un point d’un système de coordonnées dans un autre.

Il existe deux façon de représenter un repère (ou système de coordonnées) en mathématiques.

En l’occurrence, DirectX utilise le système de coordonnées gauche. Voir l’article sur les transformations géométriques.

Prérequis :

– Savoir manipuler les vecteurs et les matrices

Explications :

Il faut noter que la notation \(\vec{v}={(x, y, z, w)}\) décrit un vecteur lorsque que w = 0 ou décrit un point lorsque w = 1.

Lorsqu’un vecteur a ces 4 composantes, comme décrit précédemment, on dit qu’il est en  « homogeneous coordinates ».

Soit un vecteur (ou un point) \(\vec{p}_{A}={(x, y, z, w)}\) d’un repère A et un autre vecteur (ou point) \(\vec{p}_{B}={(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, w)} \) d’un autre repère B.

Voici un schéma qui représente deux repères relatifs entre-eux et en dimension deux.

On obtient le vecteur \(\vec{p_{A}} \) correspondant dans le repère B (devenant le vecteur \(\vec{p_{B}} \)) en faisant la multiplication matricielle suivante :

\(\vec{p_{A}}C = {[x, y, z, w]}\begin{bmatrix} {u_{x}} & {u_{y}} & {u_{z}} & 0 \\ {v_{x}} & {v_{y}} & {v_{z}} & 0 \\ {w_{x}} & {w_{y}} & {w_{z}} & 0 \\ {O_{x}} & {O_{y}} & {O_{z}} & 1 \end{bmatrix}={x\vec{u}} + {y\vec{v}} + {z\vec{w}} + {w\vec{O}}=\vec{p_{B}} \)

Les vecteurs \(\vec{O} \)   \(\vec{u} \)  \(\vec{v} \)   \(\vec{w} \) correspondent, respectivement aux positions : de l’origine, l’axe x, l’axe y, l’axe z du repère A relatifs au repère B.

Résumé :

Nous avons expliqué comment convertir un point d’un espace donné dans un autre repère en utilisant la multiplication matricielle de ce point.

Références :

– Introduction to DirectX 9.0c – A Shader Approach –  Franck D. Luna

Intro :

La normale est un vecteur perpendiculaire à un triangle ou une face quelconque.

Prérequis :

– Savoir ce qu’est un vecteur et les opérations algébriques associées.

Explications :

La normale décrit dans quelle direction une face est dirigée. La normale est un vecteur d’unité 1, puisqu’il a été normalisé. Elle est perpendiculaire à tous les points de la face.

Comment calculer la normale ?

On cherche à trouver deux vecteurs d’une face donnée en prenant le produit vectoriel de ces deux là.

Pour trouver la normale d’un triangle \(\Delta\vec{p_0}\vec{p_1}\vec{p_2} \), on calcule ces deux vecteurs d’arrêtes (côtés) du triangle.

\(\vec{u} = \vec{p_1} – \vec{p_2} \)
\(\vec{v} = \vec{p_2} – \vec{p_0} \)
\(\vec{n} = (\vec{u}\times\vec{v}) / \|\vec{u}\times\vec{v}\| \)

Voici l’algorithme en C++ :

On peut la calculer autrement :

\(n_{x} = u_{y}v_{z} – u_{z}v_{y} \)
\(n_{y} = u_{z}v_{x} – u_{x}v_{z} \)
\(n_{z} = u_{x}v_{y} – u_{y}v_{x} \)

Comment la normaliser ?

\({\vec{v}}_{norm}=\frac{{\vec{n}}}{\|{\vec{n}}\|} \)

Voici l’algorithme en C++ :

A quoi sert la normale ?

La normale est utilisée dans le calcul de la nuance de lumière d’une face en utilisant la loi de Lambert. De cette façon nous pouvons déterminer l’angle à laquelle la lumière frappe un vertex.

Elle est aussi utilisée dans le rendu du « Bump Mapping ».

Transformation de la normale par une mise à l’échelle non uniforme :

On doit faire attention aux vecteurs normales lorsqu’on fait une opération d’agrandissement (de mise à l’échelle / de scaling) autre que d’unité 1 ou non-uniforme.

[schéma / dessin]

La normale est correctement transformée avec la matrice de transformation d’agrandissement inversée et transposée.

Résumé :

Nous avons présenté le vecteur normal ; entité mathématique qui sert notamment à effectuer le calcul lumineux d’un modèle.

Références :

– https://www.opengl.org/wiki/Calculating_a_Surface_Normal

Intro :

Une matrice est un tableau de nombres ordonnés en lignes et en colonnes entourés par des parenthèses ou des crochets permettant d’effectuer des transformations géométriques dans un repère cartésien (un espace). Ces transformations peuvent être des agrandissements, des rotations ou des translations.

En effet, elles sont utilisées lors de l’affichage du rendu 3D à l’écran, de façon à ce que l’espace 3D du jeu soit transformée dans l’espace 2D de l’écran.

Les matrices servent à transformer un espace de départ vers un espace d’arrivé. Elles permettent de changer les coordonnées d’un point ou d’un vecteur depuis un espace à un autre.

Voir aussi cet article traitant les transformations.

Prérequis :

– Savoir faire des opérations sur les vecteurs.

– Savoir appliquer le produit scalaire.

Explications :

On peut réaliser sur les matrices des opérations proches de celles que l’on applique sur les nombres réels comme l’addition, la soustraction, la multiplication ou l’inversion.

Les nombres dans une matrice sont appelés coefficients. On représente un coefficient d’une matrice par : \(\textbf{M}_{i, j} \).
Le premier indice i correspond à la ligne et le second indice j correspond à la colonne.

Une matrice avec M lignes et N colonnes est appelée une matrice MxN.

Multiplication de deux matrices :

Il est nécessaire pour multiplier deux matrices \(\textbf{A} \) et \(\textbf{B} \) que le nombre de colonnes de \(\textbf{A} \) vaut le nombre de lignes de \(\textbf{B} \).

Si \(\textbf{A} \) est une matrice MxN et \(\textbf{B} \) une matrice NxP, alors le produit \(\textbf{AB} \) est possible et est une matrice \(\textbf{C} \) de dimension MxP.

Le coefficient \(\textbf{C}_{i, j} \) est donné en faisant le produit scalaire de la \({i}_{eme} \) ligne de \(\textbf{A} \) par la \({j}_{eme} \) colonne de \(\textbf{B} \).

Voici la formule : \(\textbf{C}_{i, j} = \textbf{A}_{i, *} \cdot \textbf{B}_{*, j} \).
Le symbole de l’étoile représente tous les coefficients de la matrice.

Rappel du produit scalaire :  \({v}\cdot{w}={v}_{x}{w}_{x}+{v}_{y}{w}_{y}+{v}_{z}{w}_{z}\)

Voici un exemple :

\(\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 4 & 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1, 2, 2) \cdot (6, 2, 1) & (-1, 2, 2) \cdot (7, 1, 4) & (-1, 2, 2) \cdot (8, 1, 8) \\ (4, 6, 3) \cdot (6, 2, 1) & (4, 6, 3) \cdot (7, 1, 4) & (4, 6, 3) \cdot (8, 1, 8) \end{bmatrix} = \newline\newline\begin{bmatrix} (-1 \times 6) + (2 \times 2) + (2 \times 1) & (-1 \times 7) + (2 \times 1) + (2 \times 4) & (-1 \times 8) + (2 \times 1) + (-1 \times 8) \\ (4 \times 6) + (6 \times 2) + (3 \times 1) & (4 \times 7) + (6 \times 1) + (3 \times 4) & (4 \times 8) + (6 \times 1) + (3 \times 8) \end{bmatrix} = \newline\newline\begin{bmatrix} 0 & 3 & -14 \\ 39 & 46 & 62 \end{bmatrix} \)

Matrice carrée :

C’est une matrice ayant le même nombres de colonnes et de lignes.

Voici une matrice carrée :

\(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \)

Ordre d’une matrice :

L’ordre d’une matrice est l’autre dénomination de la taille d’une matrice. Une matrice à M lignes et N colonnes est dites d’ordre MxN.

Matrice identité :

C’est une matrice carrée dont tout les coefficients en diagonale valent 1 ; tandis que les autres valent 0.

Si nous multiplions un vecteur par une matrice identité, le vecteur ne sera absolument pas changé ; de même pour une matrice.

Voici une matrice identité d’ordre 3 :

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Multiplication d’un vecteur par une matrice :

On procède comme la multiplication de deux matrices. Sauf que le vecteur est considéré comme une matrice 1xN.

La multiplication est possible que si le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre de coordonnées du vecteur. On fait l’opération de cet ordre : \(\textbf{v}\textbf{M} \) ; d’abord le vecteur \(\textbf{v} \) à l’opérande gauche ensuite la matrice \(\textbf{M} \) à l’opérande droite.

La multiplication de matrices n’est pas commutative, c’est-à-dire que M1 x M2 ne sera pas forcément égal à M2 x M1.

Transposée d’une matrice :

La transposée d’une matrice \(\textbf{M} \), notée \(\textbf{M}^{T} \), est la matrice générée par l’inversion des éléments de la matrice d’origine par rapport à la diagonale.

Une matrice MxN devient une matrice NxM.

Exemple :

\(\textbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 8 & 4 \end{pmatrix} \)   donne \(\textbf{A}^T = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)

Propriétés remarquables :

\(\textbf{(A + B)}^T = \textbf{A}^T + \textbf{B}^T\)

\((c\textbf{A})^T=c{\textbf{A}}^T \)

\((\textbf{AB})^T=\textbf{B}^T\textbf{A}^T\)

\((\textbf{A}^T)^T=\textbf{A}\)

\((\textbf{A}^{-1})^T=(\textbf{A}^T)^{-1}\)

Ajouter deux matrices :

On ajoute deux matrices de même dimension en ajoutant un à un leur coefficient correspondant.

Soustraire deux matrices :

On procède comme suit : \(\textbf{A} – \textbf{B} = \textbf{A} + (-1 \cdot \textbf{B}) = \textbf{A} + (-\textbf{B}) \)

Multiplier une matrice par un réel :

On multiplie le réel par tous les coefficients de la matrice.

Inverse d’une matrice :

Seul les matrices carrées sont inversibles.

Noté \(\textbf{M}^{-1} \), la matrice inverse vérifie cette expression : \(\textbf{MM}^{-1} = \textbf{M}^{-1} \textbf{M} = \textbf{I} \).
\(\textbf{I} \) étant la matrice identité.

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas nul.

L’inverse d’une matrice permet de retrouver l’espace précédent suite à une transformation de repère.

Voici un schéma résumant ce principe :

Déterminant d’une matrice :

Associativité :

\(\textbf{A}(\textbf{B } {+} \textbf{ C}) = \textbf{AB} + \textbf{AC} \)

\((\textbf{AB})\textbf{C} = \textbf{A}(\textbf{BC}) \)

Résumé :

Nous avons vu les opérations courantes concernant l’algèbre matricielle.

L’utilisation des matrices (afin d’effectuer des transformations) est fondamentale dans le rendu 3D de jeu vidéo.